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郑州家教:2017-2018 学年汕头市金山中学高三文科数学期中考试


来源:郑州家教中心 日期:2018/8/24
一、选择题.
1.已知集合,则实数a 的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知复数
2017
1 i
3 i
a
z
是纯虚数(其中i 为虚数单位, a R ),则z  ( )
A. 1 B. -1 C. i D. i
3.如图是为了求出满足3 2 1000 n n   的最小偶数n ,那么
在和 两个空白框中,可以分别填入( )
A. A1000和n  n1 B. A1000和n  n2
C. A1000和n  n1 D. A1000和n  n2
4.若
1
π
1
log
3
a  ,
π
b  e3,
3
1
log cos π
5
c  ,则( )[来
A. b  c  a B. b  a  c C. a  b  c D. c  a  b
5.每年三月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者男生3 人,女生2 人,现需选出2 名青年志愿者到
社区做公益宣传活动,则选出的2 名志愿者性别相同的概率为( )
A.
3
5
B.
2
5
C.
1
5
D.
3
10
6. 已 知 a,b,c 分 别 为 ΔABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 ,
a bsinAsinB  c bsinC,则 A ()
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
3
7.设    2 2 1
: 0, : 2 1 1 0
1
x
p q x a x a a
x
     
,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值
范围是( )
A.
1
0,
2
 
 
 
B.
1
0,
2
 
 
 
C.
1
0,
2
 
 
 
D.
1
,1
2
 
 
 
8.已知函数
1
( )
ln( 1)
f x
x x
 
,则 y  f (x)的图象大致为( )
9.已知函数y  sin2x  在
6
x
 处取得最大值,则函数 y  cos 2x  的图象( )
A. 关于点,0
6
 
 
 
对称 B. 关于点,0
3
 
 
 
对称
C. 关于直线
6
x
 对称 D. 关于直线
3
x
 对称
10.如图, 是椭圆与双曲线的公共焦点, 分别是在第二、
四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是( )
A. B. C. D.
11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图,则
该四棱锥各个侧面中,最大的侧面面积为( )
A. 2 B. 5 C. 3 D. 4
12.已知实数 
 
, 0
{
, 0
x e x
f x
lg x x
 
若关于x 的方程    2 f x  f x  t  0有三个不同的实根,则t
的取值范围为( )
A. ,2 B. 1, C. 2,1 D. ,21,
二、填空题.
13.若数列的前n 项和满足( ),则数列的通项公式是
 
_____.
14.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan 
 
π
4
+A =2,则
sin 2A
sin 2A+cos2A
=_________.
15.设为坐标原点, ,若点满足,则的最大值是________.
16.已知 A, B是球O的球面上两点, AOB  60, C 为该球面上的动点,若三棱锥O ABC
体积的最大值为18 3 ,则球O的体积为__________.
三、解答题.
17. 已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2 是a2 和a4 的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n 项和Tn.
18.“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式
的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20 个用户,得到
了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图(如
图所示):
若得分不低于80 分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不
认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享
单车有关:
合计
认可
不认可
合计
附: 参考数据: ( 参考公式:
 
[
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.如图(1),五边形 ABCDE中,ED  EA, AB / /CD,CD  2AB,EDC 1500 .如图(2),将
EAD沿 AD折到PAD的位置,得到四棱锥P ABCD.点M 为线段PC的中点,且BM 平
面PCD.
(1)求证:平面PAD  平面PCD;
(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为
1
2
,设 AB 1,求四棱锥P ABCD的体积.
20.已知椭圆 
2 2
2 2 : 1 0
x y
C a b
a b
    经过点
3
1,
2
P
 
 
 
,离心率
3
2
e  。
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)设过点E0,2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点,求OPQ的面积的最大值。
21.(本小题满分12 分)已知函数   
ln
,
a x
f x b a b R
x
   的图象在点1, f 1处的切线方程为
y  x 1.
(Ⅰ)求实数a,b的值及函数 f x的单调区间;
(Ⅱ)当     1 2 1 2 f x  f x x  x 时,比较
1 2 x  x 与2e(e为自然对数的底数)的大小.
22.选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线l 经过点
1
,1
2
P
 
 
 
,倾斜角
6
  ,圆C 的极坐标方程为2cos
4
 
 
   
 
(Ⅰ)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设l 与圆C相交于A, B两点,求点P到A, B两点的距离之积.
23.选修4—5:不等式选讲.
设函数f(x)=|x+2|-|x-1|.
(1)求不等式f(x)>1 的解集;
(2)若关于x 的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数m 的取值范围.
2017-2018 学年度 汕头市金山中学 高三文科数学 期中考试 参考答案
ACDBB CBBAD CA 5
2
17. [解] (1)设数列{an}的公比为q,
因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.2 分
因为a3+2 是a2 和a4 的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4.
即2(4q+2)=4+4q2,化简得q2-2q=0.
因为公比q≠0,所以q=2.
所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈N*).5 分
(2)因为an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1,
所以anbn=(2n-1)2n,7 分
则Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.②
由①-②得,-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1
=2+2× 1-2
4(1-2n-1
-(2n-1)2n+1
=-6-(2n-3)2n+1,
所以Tn=6+(2n-3)2n+1. 12 分
18.解析:
【答案】没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
合计
认可 5 10 15
不认可 15 10 25
合计 20 20 40
所以没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
19.(1)证明:取的中点,连接,则,
又,所以,
则四边形为平行四边形,所以,
又平面,
∴ 平面,
∴平面平面PCD;
(2)取的中点,连接,[来因为平面,
∴ .
由即及为的中点,可得为等边三角形,
∴ ,
又,∴ ,∴ ,
∴ 平面平面,
∴平面平面.
所以
所以.
,∴ 为直线与所成的角,
由(1)可得,∴ ,∴ ,则 .其他方法酌情给分
20.解析:
(Ⅰ)由点在椭圆上得, ① ②
由①②得,故椭圆的标准方程为
21.解:(Ⅰ)函数的定义域为,
因为的图象在点处的切线方程为,
所以,解得, .
所以.
所以.
令,得,
当时, , 单调递增;
当时, , 单调递减.
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)当时, .
证明如下:
因为时单调递减,
且,
又,当时, 单调递增,且.
若,则必都大于1,且必有一个小于,一个大于.
不防设,
当时,必有.
当时, ,
设, ,
.
因为,
所以.
故.
又,
所以.
所以在区间内单调递增.
所以.
所以.
因为, ,所以,
又因为在区间内单调递增,所以,即.
综上,当时, .
22.(1) ;(2) .
解析:(1)直线l 的参数方程为,即 (t 为参数)
由,得ρ=cosθ+sinθ,所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,∴ .
(2)把代入.
得t2+ t- =0,|PA|·|PB|=|t1t2|= .故点P 到点A、B 两点的距离之积为.
考点:1.参数方程的应用;2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.
23.解:(1)函数f(x)可化为f(x)= 3,x≥1,
2x+1,-2<x<1,
当x≤-2 时,f(x)=-3<0,不合题意;
当-2<x<1 时,f(x)=2x+1>1,得x>0,即0<x<1;
当x≥1 时,f(x)=3>1,即x≥1.
综上,不等式f(x)>1 的解集为(0,+∞).
(2)关于x 的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解等价于(f(x)+4)max≥|1-2m|,
由(1)可知f(x)max=3(也可由|f(x)|=||x+2|-|x-1||≤|(x+2)-(x-1)|=3,得f(x)max=3),
即|1-2m|≤7,解得-3≤m≤4.
故实数m 的取值范围为[-3,4].

编辑者:郑州家教郑州家教网)